Límite de funciones. Introducción
Conjunto de los números reales
Está formado por el conjunto de los
números enteros, racionales e irracionales, en adelante lo vamos a denotar por
R ; gráficamente el conjunto de los números reales lo podemos
representar por una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que
a cada punto de la recta le corresponda un número real y a cada número real le
corresponda un punto de la recta. A esta recta la denominamos
la recta
real
Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de
forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del
segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer
conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un
elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra
x, que denominamos
variable
independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo
conjunto lo representamos por la letra
y, a la que denominamos
variable dependiente. A la relación la
representamos por la letra
f y escribimos
y=f(x).
Es el conjunto de
valores de
x para los que la función
f(x) existe. Lo
representamos por
Dom(f).
Es el conjunto de
valores que toma la variable dependiente
y. Lo representamos por
Img(f).
Es aquella cuyo dominio y recorrido
son subconjuntos del conjunto de los números reales.
Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano,
utilizando un
sistema de
referencia. En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una
función ; la segunda, no es la gráfica de una función:
En el primer caso a cada valor de
x le corresponde un único valor de
y. En el segundo caso, hay valores de
x que no están
únicamente determinados.
Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una
fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante
una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica
clasificamos las funciones de la siguiente forma:
Definimos sobre la recta
real :
El conjunto
[a,b] se llama
intervalo cerrado y
(a,b) se llama
intervalo abierto. En cualquiera de los casos
b-a se llama longitud del intervalo.
Los valores de
x a considerar han de pertenecer al dominio de definición ,
D de la función. También es
necesario que en
D haya puntos tan próximos a
a como queramos,
es decir, que
a sea
un punto de acumulación de
D.
Puntos tan próximos como queramos significa que cualquiera que sea la
distancia que consideremos, por muy pequeña que sea, existen puntos del dominio
de definición de la función, que no coincidan con "a", a una distancia de "a"
menor que la considerada.
El límite depende únicamente del comportamiento de la función en las
proximidades de
a, no de cual sea el valor de la función en el punto
a ; de hecho,
a puede no pertenecer al dominio de definición de la función. Sí es necesario, que
"a" sea punto de acumulación del dominio de definición de la función.
Ejemplo : Una función típica en análisis es :
Esta función no está definida en el punto
x=1
. Para este valor de
x, el denominador de la función es
0 , y
no tiene sentido en matemáticas dividir por
0. El valor al que esta
función se aproxima, cuando
x tiende a
1 por la izquierda o
por la derecha, es
2. Luego la función tiene límite cuando
x se aproxima a 1 ; el límite es
2. Escribimos:
El límite lateral por la
izquierda de
una función
y=f(x) en el punto
x = a es el valor al que se
aproxima
f(x) cuando
x se aproxima al valor de
a por
valores
menores que a . Lo representamos por :
El límte lateral por la
derecha de una función
y =
f(x) en el punto
x = a es el valor al que se
aproxima
f(x) cuando
x se aproxima al valor de
a por
valores
mayores que a . Lo representamos por :
Ejemplo :
Ejemplo :
Sucesiones y límite de sucesiones.
Una sucesión es una función discreta, cuyo dominio de
definición son los números naturales positivos. La variable independiente se representa con la
letra
n y la variable dependiente se
representa por
an.
Una sucesión
an, tiene límite
L ,
si al crecer indefinidamente
n, los términos de la sucesión
an se aproximan indefinidamente al número
L. Que los terminos de
an se
aproximan indefinidamente a
L, significa que
todos los
términos de la sucesión a partir de uno en adelante están contenidos en cada entorno
L. Lo representamos por:
Observación : en las sucesiones no podemos hablar de límite cuando
n se aproxima a un número natural positivo, porque en el dominio de definición de las sucesiones, el conjunto de los
números naturales positivos, no nos podemos aproximar indefinidamente a
cualquier elemento, como mucho nos podremos aproximar al número entero anterior
o al siguiente.
Ejemplo :
Vamos a considerar la sucesión :
Los términos de esta sucesión crecen continuamente, es decir aumentan cuando
aumenta n, pero la sucesión está acotada, es decir sus términos no
pasan de un determinado valor, por tanto los terminos de la sucesión han de
aproximarse a algún número, que estará comprendido entre el 2 y el 3. El número
al que se aproximan los términos de esta sucesión, es una constante muy
característica en matemáticas que recibe el nombre de número e. Se
define como :
Tiene
infinitas cifras decimales, es un número real trascendente;
para conseguir una aproximación de esta constante, podemos utilizar la
calculadora del ordenador. En windows 98, la calculadora nos da el valor :
2,71828182845904523536028747135266
